الفهرس 
INTRODUCTION AND MATHEMATICAL TOOLSOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 290 |  |  |
| | | from | 290 | | |
Abstract
المعادلات التفاضلية الجزئية لم تزل مُنذ القِدم تستخدم في فهم العلوم الفيزيائية والهندسية والحيوية بالإضافة إلى مساهمتها في دراسة التحليل الرياضي وغيرها من العلوم الأخرى. معظم الظواهر التي تنشأ في الفيزياء الرياضية والهندسة يمكن وصفها بالمعادلات التفاضلية الجزئية. في الفيزياء، على سبيل المثال، يتم وصف سريان الحرارة، ظاهرة انتشار الموجة، والألياف البصرية بشكل جيد بواسطة المعادلات التفاضلية الجزئية. في علم البيئة، تخضع معظم النماذج السكانية لمعادلات تفاضلية جزئية. يتميز تشتت المواد المتفاعلة كيميائياً بالمعادلات التفاضلية الجزئية. بالإضافة إلى ذلك، معظم الظواهر الفيزيائية لديناميكا الموائع، ميكانيكا الكم، الكهرباء، فيزياء البلازما، وانتشار موجات المياه الضحلة، والعديد من النماذج الأخرى يمكن أن تنتهي بنموذج رياضي، وهذا النموذج عبارة عن معادلة تفاضلية جزئية غير خطية تتحول باسلوب معين إالى معادلات تفاضلية عادية يسهل حلها في بعض الأحيان.
في وقتنا الحاضر ومع التطور السريع للتكنولوجيا والاتصالات وتطوير البرامج الرياضية الحديثة مثلMaple, Mathematica, Matlab وغيرها من البرامج الأخرى أصبح من السهل استخدام هذه البرامج للمساعدة في حل المعادلات التفاضلية الجزئية غيرالخطية المعقدة جداً ذات الرتب العليا والتي يصعب بل ويستحيل حلها بالطرق التقليدية.
لذلك، يصبح من المهم أن نكون على معرفة بجميع الطرق التقليدية وكذا الطرق المطورة حديثاً لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، وتنفيذ هذه الطرق حيث يتم تطبيق أساليب فعالة مختلفة لبناء الحلول الدقيقة لهذه المعادلات.
ونظراً لاهمية المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية وتطبيقاتها في الفيزياء الرياضية كان موضوع هذه الرسالة:
”عن دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية في الفيزياء الرياضية”.
الهدف الرئيسي لهذه الرسالة هو دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية في الفيزياء الرياضية، من أجل إيجاد الحلول التامة لهذه المعادلات والتي تظهر على صورة حلول دوال جاكوبي الناقصية (Jacobi elliptic function solutions)، ودوال زائدية Hyperbolic function solutions))، ودوال مثلثية (Trigonometric function solutions)، ودوال كسرية rational solutions))، وحلول السوليتون (Soliton solutions) وغيرها من الحلول الأخرى وذلك من خلال تطبيق عدة طرق مختلفة وتحسين البعض منها وإضافة طريقة جديدة وهذه الطرق هي :
1) The new extended auxiliary equation method.
2) The new mapping method.
3) The Jacobi elliptic equation method.
4) The generalized Riccati equation mapping method.
5) The generalized Kudryashov method.
6) The φ⁶-model expansion method.
7) The first integral method.
8) The rational (G′/G)-expansion method.
9) The generalized sub-ODE method.
10) The soliton ansatz method.
11) The sine-cosine method.
12) The Riccati equation expansion method.
13) The (G′/G)-expansion method.
14) The Bernoulli equation method.
15) The modified simple equation method.
16) The exp-function method.
17) The general Expa-function method.
18) The multiple exp-function method.
19) The linear superposition principle.
وتتكون الرسالة من سبعة أبواب بالإضافة إلى ملخصين باللغة العربية والانجليزية، وهذه الأبواب على النحو التالي :
الباب الأول:
يتضمن هذا الباب مقدمة عامة عن المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، بالإضافة لشرح تفصيلي للطرق الرياضية السابقة والتي استخدمت في حل العديد من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التي لها أهمية كبيرة في الفيزياء والهندسة.
الباب الثاني:
تناول هذا الباب دراسة الحلول التامة لثمان معادلات تفاضلية جزئية غير خطية باستخدام أربع طرق مختلفة.
أولاً: دراسة الحلول التامة لمعادلات شرودنجرغير الخطية (NLSE) ذات الرتب العليا التالية:
(1) The higher-order nonlinear Schrödinger equation (NLSE) with derivative non- Kerr nonlinear terms.
(2) The higher-order dispersive NLSE.
(3) The generalized NLSE.
باستخدام الطريقة: The new extended auxiliary equation method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة دوال جاكوبي الناقصية تحت الشرط 0 < m < 1 ، حيث أن m يسمى معامل جاكوبي (modulus) ومنها يمكن الحصول على حلول أخرى خاصة على صورة دوال زائدية إذا كان المعامل m→1، أو دوال مثلثية إذا كان المعامل m→0.
ثانياً: دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The (2+1)-dimensional nonlinear cubic-quintic Ginzburg-Landau equation.
(2) The (1+1)-dimensional resonant NLSE with parabolic law nonlinearity.
(3) The (1+1)-dimensional nonlinear generalized Zakharov system.
باستخدام الطريقة: The new mapping method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة Solitons and other exact solutions
ثالثاً: دراسة الحلول التامة للمعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
• The perturbed NLSE, with power law nonlinearity and Hamiltonian perturbed terms.
باستخدام الطريقة: Jacobi elliptic equation method
وهذه الحلول تظهر في صورة حلول دوال جاكوبي الناقصية.
رابعاً: دراسة الحلول التامة لنظام المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
• The nonlinear Bogoyavlenskii equations.
باستخدام الطريقة: The generalized Riccati equation mapping method
الباب الثالث:
تناول هذا الباب دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The nonlinear Burgers equation.
(2) The modified Benjamin-Bona-Mahony (mBBM) equation.
(3) The Cahn-Hilliard equation.
(4) The diffusive predator-prey system.
(5) The nonlinear telegraph equation.
(6) The Biswas-Milovic equation with dual-power law nonlinearity.
(7) The Zakharov-Kuznetsov equation (ZK(m,n,k)).
باستخدام الطريقة: The generalized Kudryashov method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة (Symmetrical Fibonacci function solutions) ومنها يمكن الحصول على حلول أخرى خاصة على صورة دوال زائدية.
الباب الرابع:
تناول هذا الباب دراسة الحلول التامة لثلاث معادلات تفاضلية جزئية غير خطية باستخدام أربع طرق مختلفة.
أولاً: دراسة الحلول التامة لمعادلة شرودنجر غير الخطية ذات الرتب العليا التالية:
• The higher-order NLSE with derivative non- Kerr nonlinear terms.
باستخدام الطريقة: The φ⁶-model expansion method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة حلول دوال جاكوبي الناقصية.
ثانياً: دراسة الحلول التامة للمعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
• The Biswas-Milovic equation with dual-power law nonlinearity.
باستخدام الطريقتين:
The first integral method and the rational (G′/G)-expansion method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة
- دوال زائدية ويمكن الحصول منها على حلول (Solitary wave solutions)
- دوال مثلثية ويمكن الحصول منها على حلول (Periodic wave solutions)
- دوال كسرية .
ثالثاً: دراسة الحلول التامة للمعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
• The GKdV-mKdV equation with higher-order nonlinear terms.
باستخدام الطريقتين:
The generalized sub-ODE method and the rational (G′/G)-expansion method
الباب الخامس:
تناول هذا الباب دراسة الحلول التامة لثمان معادلات تفاضلية جزئية غير خطية باستخدام طريقتبن مختلفتين .
أولاً: دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The perturbed NLSE with Kerr law nonlinearity.
(2) The higher-order NLSE
(3) The generalized NLSE with a source.
(4) The long-short wave resonance equations.
(5) The (2+1)-dimensional hyperbolic NLSE.
(6) The nonlinear foam drainage equation.
باستخدام الطريقة: The soliton ansatz method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة Bright, dark and singular soliton solutions
ثانياً: دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The perturbed NLSE, with power law nonlinearity and Hamiltonian perturbed terms.
(2) The GKdV-mKdV equation with higher-order nonlinear terms.
باستخدام الطريقة: The sine-cosine method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة دوال مثلثية.
الباب السادس:
تناول هذا الباب دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The (2+1)-dimensional hyperbolic NLSE.
(2) The nonlinear foam drainage equation.
(3) The NLSE with fourth-order dispersion and cubic-quintic nonlinearity.
(4) A variant nonlinear Boussinesq equations.
باستخدام الطريقة: The soliton ansatz methodمدمجة مع كل طريقة من الطرق التالية:
(1) The Jacobi elliptic equation method.
(2) The Riccati equation expansion method.
(3) The (G′/G)-expansion method.
(4) The Bernoulli equation method.
(5) The extended auxiliary equation method.
(6) The new mapping method.
(7) The φ⁶-model expansion method.
وهذه الحلول التامة تظهر في صورة حلول دوال جاكوبي الناقصية، ودوال زائدية، ودوال مثلثية، ودوال كسرية.
الباب السابع:
في هذا الباب قمنا بدراسة الحلول التامة لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية باستخدام أربع طرق مختلفة.
أولاً: دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The generalized NLSE with a source.
(2) The long-short wave resonance equations.
(3) The (2+1)-dimensional hyperbolic NLSE.
(4) The nonlinear foam drainage equation.
(5) A variant nonlinear Boussinesq equations.
باستخدام الطريقة: The modified simple equation method
ثانياً: دراسة الحلول التامة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The GKdV-mKdV equation with higher-order nonlinear terms.
(2) The long-short wave resonance equations.
(3) The (2+1)-dimensional hyperbolic NLSE.
(4) The nonlinear foam drainage equation.
باستخدام الطريقة: The exp-function method
ثالثاً: دراسة الحلول التامة للمعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
(1) The NLSE with fourth-order dispersion and cubic-quintic nonlinearity.
(2) A variant nonlinear Boussinesq equations.
باستخدام الطريقة: General Expa-function method
وهذه الحلول التامة تظهر في صورمختلفة ومنها يمكن الحصول على حلول أخرى خاصة في صورة دوال زائدية.
رابعاً: دراسة الحلول التامة لنظام المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التالية:
• The (2+1)-dimensional Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff (CBS) equation.
باستخدام الطريقتين:
The multiple exp-function method and the linear superposition principle
وهذه الحلول تظهر في صورة One-wave, two-wave, three-wave and N-wave solutions
وقد تم بحمد الله وفضله نشر نتائج هذه الرسالة بالكامل في مجلات علمية محكمة دولياً على النحو التالي:
1. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, New extended auxiliary equation method for finding many new Jacobi elliptic function solutions of three nonlinear Schrödinger equations, Waves in Random and Complex Media, 27 (2017) 420-439.
2016/2017 Impact Factor: 1.447
2. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Solitons and other exact solutions for a class of nonlinear Schrödinger-type equations, Optik- International Journal for Light and Electron Optics, 130 (2017) 1295-1311.
2016/2017 Impact Factor: 0.835
3. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions for the perturbed nonlinear Schrödinger equation with power law nonlinearity and Hamiltonian perturbed terms, Optik, 139 (2017) 123-144.
2016/2017 Impact Factor: 0.835
4. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Solitons and other solutions to the nonlinear Bogoyavlenskii equations using the generalized Riccati equation mapping method, Optical and Quantum Electronics, 49 (2017) 359.
2016/2017 Impact Factor: 1.055
5. E. M. E. Zayed, G. M. Moatimid, Abdul-Ghani Al-Nowehy, The generalized Kudryashov method and its applications for solving nonlinear PDEs in mathematical physics, Scientific Journal of Mathematics Research, 5 (2015) 19-39.
6. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact traveling wave solutions for nonlinear PDEs in mathematical physics using the generalized Kudryashov method, Serbian Journal of Electrical Engineering, 13 (2016) 203-227.
• Scopus coverage years: from 2016 to 2017
• Publisher: University of Kragujevac, Faculty of Science
7. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions of the Biswas-Milovic equation, the ZK (m, n, k) equation and the K (m, n) equation using the generalized Kudryashov method, Open Physics (formerly Central European Journal of Physics), 14 (2016) 129-139.
2016/2017 Impact Factor: 0.765
8. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Many new exact solutions to the higher-order nonlinear Schrödinger equation with derivative non-Kerr nonlinear terms using three different techniques, Optik, 143 (2017) 84-103.
2016/2017 Impact Factor: 0.835
9. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions and optical soliton solutions of the nonlinear Biswas-Milovic equation with dual-power law nonlinearity, Acta Physica Polonica A, 131 (2017) 240-251.
2016/2017 Impact Factor: 0.469
10. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Solitons and other solutions for the generalized KdV-mKdV equation with higher-order nonlinear terms, Journal of partial differential equations, 29 (2016) 218-245.
11. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, The solitary wave ansatz method for finding the exact bright and dark soliton solutions of two nonlinear Schrödinger equations, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 24 (2017) 184-190.
• Scopus coverage years: from 2010 to 2017
• Publisher: Elsevier BV
• Cite Score 2016: 1.83, SJR 2016: 0.309, SNIP 2016: 1.570
12. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, The modified simple equation method and the method of soliton ansatz for solving the generalized nonlinear Schrödinger equation with a source, Journal of Advanced Mathematical Studies, 9 (2016) 235-244.
13. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, The modified simple equation method, the exp-function method, and the method of soliton ansatz for solving the long-short wave resonance equations, Zeitschrift für Naturforschung A, 71a (2016) 103-112.
2016/2017 Impact Factor: 1.432
14. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions and optical soliton solutions for the (2+ 1)-dimensional hyperbolic nonlinear Schrödinger equation, Optik, 127 (2016) 4970-4983.
2016/2017 Impact Factor: 0.835
15. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions for nonlinear foam drainage equation, Indian Journal of Physics, 91 (2017) 209-218.
2016/2017 Impact Factor: 0.988
16. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Jacobi elliptic solutions, solitons and other solutions for the nonlinear Schrödinger equation with fourth-order dispersion and cubic-quintic nonlinearity, European Physical Journal Plus, 132 (2017) 475.
2016/2017 Impact Factor: 1.753
17. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Exact solutions and optical soliton solutions for the nonlinear Schrödinger equation with fourth-order dispersion and cubic-quintic nonlinearity, Ricerche di Matematica, 66 (2017) 531-552.
• Scopus coverage years: from 2007 to 2017
• Publisher: Springer-Verlag Italia
• Cite Score 2016: 0.94, SJR 2016: 0.449, SNIP 2016: 1.029
18. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Solitons and other exact solutions for variant nonlinear Boussinesq equations, Optik, 139 (2017) 166-177.
2016/2017 Impact Factor: 0.835
19. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, Generalized Kudryashov method and general Expa-function method for solving a higher order nonlinear Schrödinger equation, Journal of Space Exploration, 6 (2017) 1-26.
20. E. M. E. Zayed, Abdul-Ghani Al-Nowehy, The multiple exp-function method and the linear superposition principle for solving the (2+ 1)-dimensional Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation, Zeitschrift für Naturforschung A, 70a, (2015) 775-779.
2015 Impact Factor: 0.886